中国科学技术信息研究所--国家工程技术数字图书馆

[学位论文] 白庆朝大连理工大学 2008年硕士导师: 金正国共28页

摘要 : 研究一类带有边值条件的偏微分方程解的存在性和多重性，是偏微分方程理论研究领域的重要课题之一。本文主要研究了一类带有Dirichlet边界条件的非线性椭圆型方程Lu+g(u)=f(x)解的多重性，同时也研究了解的多重性与非线性扰动项的关系。本文主要章节... 展开

关键词 : 椭圆型方程解

3. 具非线性阻尼的Sine-Gordon型梁方程解的存在唯一性

[学位论文] 段振兴太原理工大学 2008年硕士导师: 张建文共34页

摘要 : 本文对物理学中提出的一类具非线性阻尼的Sine-Gordon型梁方程进行了研究，给出了该方程解的存在唯一性。具体研究内容如下：首先，对实际应用中的某些无穷维动力系统的研究现状及研究方法进行了总结与评述，尤其是对无穷维动力系统的门槛解的存... 展开

关键词 : 线性阻尼方程解

4. 快速反应扩散方程解的整体存在唯一性

[学位论文] 刘静河南大学 2008年硕士导师: 陈守信共26页

摘要 : 本文研究快速反应扩散方程定解问题解的整体存在唯一性．第一部分利用上下解的方法证明了当α>0时初边值问题解的整体存在性．第二部分利用解的延拓方法证明了Cauchy问题广义解的整体存在唯一性．全文共分三章．第一章简要介绍了文章的有关背景、发展... 展开

关键词 : 反应扩散方程解

5. 一类p—Laplacian方程解的存在性及多重性

[学位论文] 林艳西南大学 2008年硕士导师: 唐春雷共26页

摘要 : 文中首先考虑如下带有Dirichlet边界条件的p-Laplacian方程:-△pu=-λ|u|p-2u+f(x，u)z∈Ω，(1)u=0x∈θΩ，其中△pu为p-Laplacian算子：△pu=div(|▽|p-2▽u)，f∈C((Ω)×R，R)，入＞为参数．假设P＞1，Ω为RN(N≥1)中的带有光滑边界θΩ的有界区... 展开文中首先考虑如下带有Dirichlet边界条件的p-Laplacian方程:-△pu=-λ|u|p-2u+f(x，u)z∈Ω，(1)u=0x∈θΩ，其中△pu为p-Laplacian算子：△pu=div(|▽|p-2▽u)，f∈C((Ω)×R，R)，入＞为参数．假设P＞1，Ω为RN(N≥1)中的带有光滑边界θΩ的有界区域．运用山路引理得到方程(1)解及多解的存在性．定理1：假设在方程(1)中f满足以下条件:(f1)f∈C((Ω)×R，R)，当t∈R，x∈(Ω)时f(x，t)≥0；(f2)limt→0+f(x,t)/tp-1=0关于x∈(Ω)几乎处处一致成立；(f3)当N≤p时存在q∈(0，+∞)，当N＞P时存在q∈(p，pN/N-p1)使得limt→+∞f(x,t)/tq=0关于x∈(Ω)几乎处处一致成立；(f4)存在θ＞P，r＞0使得当t≥r时对任意(x，t)∈(Ω)×R+有0＜θF(x，t)≤tf(x，t)，其中F(x，t)=∫tof(x，s)ds．那么对所有λ＞0方程(1)至少有一个正解．定理2：假设在方程(1)中f满足(f*1)f∈C((Ω)×R，R)，当t∈R，x∈(Ω)时，f(x,t)t≥0；(f*2)lim|t|→0f(x,t)/|t|p-2t=0关于x∈(Ω)几乎处处一致成立；(f*3)当N≤p时存在q∈(0，+∞)，当N＞P时存在q∈_p,pN/N-p-1)使得lim|t|→∞f(x,t)/|t|q0关于x∈(Ω)几乎处处一致成立；(f*4)存在θ＞P，r＞0使得当|t|≥r时对所有(x，t)∈(Ω)×R有0＜θF(x，t)≤tf(x，t)．那么对所有λ＞0方程(i)至少有一正一负两解．讨论RN上的p-Laplacian方程-△pu+|u|p-2u=f(u)，u∈W1,p(RN)(2)最小能量解的存在性，其中1＜P＜N，f∈C(R，R)．本文在f不满足AR条件下，利用Nehari方法得到最小能量解的存在性．主要结果如下：定理3：假设在方程(2)中f∈C(R，R)满足(f5)lim|t|→0f(t)/|t|p-2t=0；(f6)存在p＜q＜p*全pN/(N-p)使得lim|t|+∞f(t)/|t|q/2t=0；(f7)函数t-f(t)/|t|p-1关于t在R\{0}中单调递增；(f8)lim|t|→+∞F(t)/|t|p=+∞(f9)存在μp＜Np/警(q-p)和常数α＞0使得当t∈R＼{0}．时/(t)t-pF(t)≥a|t|∶>0那么方程(2)至少有一个最小能量解．最后讨论了RN上的p-Laplacian方程-△pt+V(x)|u|p-2+u=s(u)，u∈W1,pp(RⅣ)(3)正解及最小能量解的存在性，其中1＜P≤N，f∈C(R，R)，V∈C(RN,R)．本文对非线性项f只给出在0与∞处的条件，利用没有(Ps)条件的山路引理及集中紧性方法得到结果．主要结果如下:定理4设在方程(3)中f和V满足以下条件(10)当t＞0时，(t)≥o；当t≤0时，f(t)兰0；(f11)当N=p时存在q＜∞，当N＜p时存在q＜Np/N-p使得limt→∞f(t)/tp=0；(f12)limt→0+f(t)tp-1=α，其中α≥0是常数；(f13)limt→+∞f(t)/tp-1＝+∞(v1)a＜α0，其中α0=infu∈W1,p(RN/{0}；(V2)0＜infx∈RNV(x)≤V(x)≤lim|x|→∞V(x)=V(∞)＜+∞；(v3)存在函数ψ∈L2(RN)∪W1,∞(RN)使得对任意x∈RN有|x||▽V(x)|≤ψ(x)2．那么方程(3)至少有一个非平凡的正解．定理5在定理4的假设下，方程(3)有一个最小能量解。即是说，存在一个解ω∈W1,p(RN)使得I(w)=m，其中m=inf{I(u)lu≠0，I1(u)=0}．收起

关键词 : Laplacian 方程解存在性

6. 超临界指标Hénon方程解的渐近行为

[学位论文] 李书娟华中师范大学 2008年硕士导师: 彭双阶共17页

摘要 : 本文主要研究下列Hénon方程解的渐近性态：-△u=│x│аuр-1，x∈B1(0)，u>0，x∈B1(0)C Rn(n≥3)，u=0，X∈aB1(0)．这里а>0，р从左边趋近于р(а)=2(n+а)/n-2>2n/n-2(n3≥)．

关键词 : 临界指标 non 方程解

7. 一类四阶椭圆型方程解的存在性和多重性

[学位论文] 吉蕾西南大学 2008年硕士导师: 唐春雷共30页

摘要 : 本论文主要研究一类四阶椭圆方程．首先讨论了含有四阶椭圆方程的一类椭圆系统解的存在性｛△2y+k(y-z)+=f1(x，y，z)x∈Ω-△z-k(y-z)+=fz(x，y，z)x∈Ω△y=y=0x∈()Ωz=0x∈(_)Ω(1)这里Q是RN(N≥3)中的有界开区域，具有光滑边界()Ω．△2是双调和... 展开本论文主要研究一类四阶椭圆方程．首先讨论了含有四阶椭圆方程的一类椭圆系统解的存在性｛△2y+k(y-z)+=f1(x，y，z)x∈Ω-△z-k(y-z)+=fz(x，y，z)x∈Ω△y=y=0x∈()Ωz=0x∈(_)Ω(1)这里Q是RN(N≥3)中的有界开区域，具有光滑边界()Ω．△2是双调和算子．在文[10]中，作者在著名的(AR)条件下，由山路引理得到了系统(1)的非平凡解的存在性．(AR)条件对于验证相应的泛函满足山路引理的几何条件以及相应的(PS)。序列有界都起到了非常重要的作用．而本文将讨论(AR)条件不成立时，系统(1)解的存在性．其次在较文[17]更弱的条件下，讨论了以下一类四阶半线性椭圆方程解的存在性与多重性{△2u+c△u=f(x,u)x∈Ω△u=u=0x∈()Ω(2)并且考虑了f在无穷远点为超线性时方程(2)正解的存在性．接着用同样的方法讨论了以下四阶拟线性椭圆方程解的存在性和多重性｛△(g1((△u)2)△u)+cdiv(g2(│▽u│2)▽u)=f(x，u)x∈Ω△u=u=0x∈()Ω(3)其中Ω是RN中的有界开区域，具有光滑边界()Ω．C∈R，f：Ω×R→R是Caxatheodory函数．主要结果如下：定理1假设系统(1)中位势函数为F，这里▽uF(x，u)=f(x，u)=(f1(x，u)，f2(x，u))，满足(H1)f：Ω×R2→R2是Caxatheodory函数，即对任意的u=(y，z)∈R2，f(x，u)关于x是可测的，对几乎处处的x∈Ω关于u=(y，z)∈R2是连续的．且存在2＜P＜2*=2N/(N-2)，a0，b0＞0使得对任意的u=(y，z)∈R2和几乎处处的z∈Ω有│f1(x，u)│+│≤f2(x，u)│≤a0│u│p-1+b0.(H2)存在q＞2以及a1＞0使得limsupF(x,u)/│u│q≤a1≤∞对于几乎处处的x∈Ω一致成立．(H3)存在N/2(q-2)＜μ≤q以及b1＞0使得liminf/│u│→∞f(x,u)u-2F(x,u)/│u│μ≥b1＞0对于几乎处处的x∈Ω一致成立．假设-1/2λ＜k≤0以及存在a2，b2＞0使得limsup/│u│→02F(x，u)/│u│μ│2≤a2＜λ+2k,liminf/│u│→∞2F(x,u)/│u│2≥b2＞λ对于几乎处处的x∈Ω一致成立．其中λ=min｛λ1，λ21｝，λ=max｛λ1，λ21｝，λ1是-△算子的第一个特征值．则系统(1)至少存在一个非平凡解．定理2假设k≥0且条件(H1)-(H3)成立．又设存在a3，b3＞0使得limsup│u│→02F(x,u)/│u│2≤a3＜λ，liminf│u│→∞2F(x,u)/│u│2≥b3＞λ+2k对于几乎处处的x∈Ω一致成立．则系统(1)至少存在一个非平凡解．推论1假设k＞-1/2λ且条件(H1)-(H3)成立．又设limsup│u│→02F(x,u)/│u│2=0，liminf│u│→∞2F(x,u)/│u│2=+∞对于几乎处处的x∈Ω一致成立．则系统(1)至少存在一个非平凡解．定理3方程(2)中假设f：Ω×R→R是Caratheodory函数且存在Co＞0，2≤P＜2N/(N-4)(N≥5)；2≤P＜+∞(N≤4)使得对任意的t∈R和几乎处处的x∈Q有│f(x，t)│≤C0(│t│p-1+1)．假设存在Ω中一正测度子集E1，使得对于几乎处处的x∈E1，当│t│→∞时有F(x，t)-1/2λ1(λ1-c)t2→-∞，对任意的t∈R和几乎处处的x∈Ω有F(x，t)-1/2λ1(λ1-c)t2≤β(x)，其中函数β∈L1(Ω)，F(x，t)=ft0f(x，s)ds．则方程(2)在V=H2(Ω)ПH10(Ω)中至少存在一解．定理4假设定理3中的条件成立．且设存在正整数m≥1与δ1＞0使得对任意的0＜│t│≤δ1和几乎处处的x∈Ω有λm(λm-c)≤f(x,t)/t≤λm+1(λm+1-c)．则方程(2)在V中至少存在两个非零解．定理5方程(2)中假设f满足如下条件：(H4)当t≥0，x∈Ω时，f(x，t)≥0；当t≤0，x∈Ω时，f(x，t)≡0；(H5)limt→+∞f(x,t)/t=+∞关于x∈Ω几乎处处成立；(H6)当N≥5时，存在2≤p＜2N/(N-4)；当N≤4时，2≤p<+∞使得limt→+∞f(x,t)/tp-1=0关于x∈Ω几乎处处成立；(H7)limsupf(x,t)/t=a(x)关于x∈Ω几乎处处成立，其中a∈L∞(Ω)满足对所有的x∈Ω都有a(x)≤λ1(λ1-c)，且存在某正测度子集Ω'cΩ使得a(x)＜λ1(λ1-c)在Ω'中几乎处处成立；(P)存在θ≥1使得对所有的x∈Ω，t∈R和s∈[0，1]都有θG(x，t)≥G(x，st)，其中G(x，t)=f(x，t)t-2F(x，t)．则方程(2)至少有一个正解．定理6方程(3)中假设以下条件成立：(H8)存在C1＞0，2≤p＜2N/(N-4)(N≥5)；2≤p<+∞(N≤4)使得对任意的t∈R和几乎处处的x∈Ω有│f(x，t)│≤C1(│t│p-1+1)．(H9)假设g1，g2∈C(R，R)且c＜λ1.g1是连续且非减函数，cg2是连续且非增函数．存在实数α1，α2，β1和β2使得0＜α1≤g1(t)≤β1，cα2≤cg2(t)≤cβ2，其中α1，β2满足β2/α1≤1当c≥0时；β2/α1≥1当c＜0时．(H10)存在Ω中一正测度子集E2使得对几乎处处的x∈E2，当│t│→∞时有F(x，t)-1/2α1λ1(λ1-c)t2→∞，对所有的t∈R和几乎处处的x∈Ω有F(x，t)-1/2α1λ1(λ1-c)t2≤γ(x)，其中函数，γ∈L1(Ω)，F(x，t)=ft0f(x，s)ds．则方程(3)在V中至少存在一解．定理7假设c≤0且α2/β≤1，条件(H8)-(H10)成立．假设存在正整数i≥1和δ2＞0使得对所有的0＜│t│≤δ2和几乎处处的x∈Ω有β1λi(λi-c)≤f(x,t)/t≤α1λi+1(λi+1-c)．则方程(3)在V中至少存在两个非零解．收起

关键词 : 椭圆型方程解存在性

8. 高阶微分方程解的增长性

[学位论文] 李升华南师范大学 2008年硕士导师: 陈宗煊共28页

摘要 : 主要研究了高阶线性微分方程f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f’+A0f=F(z) (I)解的增长性，其中A0(z)(≠0)，…，Ak-1(z)，F(z)都是整函数。设f(z)是方程(I)的超越解，通过限制系数A0(z)，…，Ak-1(z)，F(z)的表示形式，得到了f(z)的级和超级的精确估计；当存在... 展开

关键词 : 高阶微分方程解

9. 一类退化拟线性抛物方程解的唯一性和存在性

[学位论文] 刘强吉林大学 2004年硕士导师: 尹景学共46页

摘要 : 渗流是自然界中一种普遍存在的自然现象，它指的是液体在多孔介质中的运动，例如水在土壤中的流动就是一种渗流现象.渗流的研究对地下水资源的开发，石油天然气的开采，特别对农业生产都有重要的意义.同时，在研究土壤的盐碱化和改良，肥料的合理施用... 展开渗流是自然界中一种普遍存在的自然现象，它指的是液体在多孔介质中的运动，例如水在土壤中的流动就是一种渗流现象.渗流的研究对地下水资源的开发，石油天然气的开采，特别对农业生产都有重要的意义.同时，在研究土壤的盐碱化和改良，肥料的合理施用，工业废水处理和地下水资源的保护等问题时，进一步涉及到渗流中溶质迁移和热量传递过程，都必须考虑渗流中溶质和热量输送的动力学问题. 渗流现象的研究起源于1956年H.Darcy的著名实验.在以后的几十年中，众多数学家建立了大量关于渗流现象的数学模型，并在数值计算以及理论的定性研究上都取得了巨大的进展.本文所研究的问题来源于一种不可压流体在均匀，各项同性的多孔介质中流动.首先由连续性方程有(б)θ/(б)t+div(→v)=0，(1)其中θ为介质的孔隙率，(→v)表示为渗流速度.Darcy定律给出(→v)=-k(θ)▽Φ，(2)其中k(θ)为液导系数，Φ为总位势.在假设忽略吸附的作用，化学作用，渗透效应的条件下，Φ可以写成Φ=ψ+z，(3)其中第一项ψ是由毛细管作用产生的吸力而引起的静力学位势，第二项是重力位势，z为沿重力方向的坐标变量. 联合(1)，(2)，(3)得到(б)θ/(б)t=div(k(θ)▽ψ)+(б)k(θ)/(б)z.(4) 在许多介质中，ψ可以看成是θ的函数，即ψ=ψ(θ)，则我们可以得到如下形式的方程(б)θ/(б)t=△A(θ)+div(→B)(θ).(5)而由实验表明，液导系数k(θ)一般是非负的，即A(s)是非减函数，此时方程(5)就是典型的渗流方程. 另一方面，若θ依赖于ψ，即θ=θ(ψ)，方程(4)可化为(б)θ(ψ)/(б)t=div(k(ψ)▽ψ)+(б)K(ψ)/(б)x.在一维情形下经过适当的变换，则得到如下形式的方程(б)C(u)/(б)t=(б)2u/(б)x2+(б)B(u)/(б)x.(6)如果不考虑重力的作用(例如x的方向为水平的情形)，方程(6)的形式为(б)C(u)/(б)t=(б)2u/(б)x2，(7)其中C(u)一般也为单调不减函数，这类方程常用于带有饱和区和非饱和区的渗流问题的研究. 对于方程(5)，(6)，(7)，在数学上我们所感兴趣的主要是带有退化的情形.一般来讲，方程(5)是典型的抛物-双曲方程，退化发生在使A'(s)=0的地方，而方程(6)，(7)是椭圆-抛物方程，退化发生在使C'(s)=0的地方. 关于退化抛物型方程(5)弱解理论的研究可以追溯到1958年.Oleinik，Kalashinkov和周毓麟[2]发表了关于方程(б)u/(б)t=(б)2Φ(x，t，u)/(б)x2Cauchy问题的研究. 在这篇文章中，他们要求Φ(t，x，u)对u≥0有定义且Φ(t，x，u)＞0，Φu(t，x，u)＞0，当u＞0时，Φ(t，x，0)=Φu(t，x，0)=0.由于方程具有退化性质，一般来说是不存在古典解的，因而必须考虑方程的弱解.他们给出了第一边值和第二边值问题弱解的定义，利用抛物正则化方法证明了弱解的存在性，同时也给出了唯一性的证明以及扰动有限传播的条件. Gilding和Peletier[3]于1976年研究了方程(б)u/(б)t=(б)2um/(б)x2+(б)un/(б)x的Cauchy问题，其中m＞1，n＞0，并且证明了当n≥1/2(m+1)时弱解唯一，当u0≥0连续，有界且u0mLipschitz连续时弱解存在.这个结果随后被Gilding[4]推广到更一般的方程(б)u=/(б)t=(б)/(б)x(a(u)(б)u/(б)x)+b(u)(б)u/(б)x，(8)其中a(u)，b(u)连续，且a(u)＞0(u＞0)，a(0)=0.他证明了当b2(u)=O(a(u))(u→0+)时弱解的唯一性.后来，陈亚浙教授[5]去掉了(8)中由a(u)控制b(u)的条件，集中对a(u)加条件，证明了弱解的唯一性.而方程(8)研究中的一个实质性的进展是由赵俊宁教授[6]得到的，他不要求a(u)与b(u)之间有任何的关系，只假设a(u)≥0，但集合F={s，a(s)=0}不含内点，而且唯一性是在有界可测函数类中证明的.这方面的发展历史可详见综述文章[7]及所附的文献表. 1959年，周毓麟教授[8]研究了方程(б)2u/(б)x2=A(x，t，u)(б)u/(б)t+B(x，t，u，(б)u/(б)x)(б)u/(б)x+c(x，t，u)+F(x，t)的混合边值问题，他利用差分方法证明了弱解的存在性，并研究了解的有界性. 1982年，VanDuyn和Peletier[9]，[10]发表了关于方程(7)的第一边值问题的研究结果，包括弱解的存在唯一性，解的性质及饱和与非饱和区域交界面的连续性.另外，在1987年，他们提出了方程(7)的自由边界问题(参见[11])，证明了自由边界的连续性.在他们的研究中，C(u)一般都有如下的性质当u＜0时，C(u)严格递增(对应于非饱和情形)；当u≥0时，C(u)=1(对应于饱和情形).此时，方程(7)在饱和区属于椭圆型方程，在非饱和区属于抛物型方程. 另外还有一些物理模型也会涉及到方程(7)，比如Bingham流，它具有液体和固体两种状态.在两种状态共存且相互转化的过程中会存在两种饱和状态，因而θ(u)的退化性质比(7)中的更加复杂，属于两阶段退化的方程.文章[13]曾研究这种情形的方程，并且得到与[10]相似的结果. 我们讨论具有如下形式的方程(б)C(u)/(б)t=△A(u)+div(→B)(u)(9)其中C(u)=∫u0c(s)ds，A(u)=∫u0a(s)ds，(→B)(u)=∫u0(→b)(s)ds，c(s)≥0，a(s)≥0，b(s)均为适当光滑函数.设Ω为RN中边界适当光滑的有界区域.假定边界条件和初值条件分别为A(u(x，t))=0，(x，t)∈(б)Ω×(0，T)，C(u(x，0))=v0(x)，x∈Ω. 我们主要研究方程(9)在一维情形下初边值问题弱解的唯一性.由于方程是退化的，古典解一般是不存在的，我们给出弱解的定义，采用Holmgren方法，将方程弱解的唯一性问题转化为共轭方程解的估计问题.在证明过程中，并没有要求A(s)和B(s)之间有任何关系.然而由于C(s)具有强退化性质，我们要求|b(s)|2≤α(s)c(s)，其中α(s)为非负连续函数.利用这个条件和A(s)是严格单调递增的，我们给出有界可测弱解的唯一性证明. 我们给出方程(9)在高维情形下初边值问题弱解的存在性证明，主要的方法是利用抛物正则化方法.证明的关键是受到赵俊宁教授在文章[14]中的启发，利用Young测度收敛定理，使用补偿紧致方法.最后，我们证明有界可测弱解的存在性，要求C(s)和A(s)，B(s)之间都要有一定的关系，但A(s)受到C(s)的限制并不一定是弱退化的. 收起

关键词 : 抛物方程方程解渗流

10. 高阶微分方程解的超级及其应用

[学位论文] 吴丽镐华南师范大学 2008年硕士导师: 陈宗煊共23页

摘要 : 本文研究了某些高阶微分方程解的增长级和收敛指数，分三部分．第一部分，概述了本研究领域的研究近况。第二部分，研究了高阶线性微分方程的亚纯解的超级，其中F(z)≡0,A0(z)，…，Ak-1(z)为某种形式的亚纯函数，对于微分程(I)，当存在某个系数对方程... 展开

关键词 : 高阶微分方程解超级