摘要: 渗流是自然界中一种普遍存在的自然现象，它指的是液体在多孔介质中的运动，例如水在土壤中的流动就是一种渗流现象.渗流的研究对地下水资源的开发，石油天然气的开采，特别对农业生产都有重要的意义.同时，在研究土壤的盐碱化和改良，肥料的合理施用... 展开 渗流是自然界中一种普遍存在的自然现象，它指的是液体在多孔介质中的运动，例如水在土壤中的流动就是一种渗流现象.渗流的研究对地下水资源的开发，石油天然气的开采，特别对农业生产都有重要的意义.同时，在研究土壤的盐碱化和改良，肥料的合理施用，工业废水处理和地下水资源的保护等问题时，进一步涉及到渗流中溶质迁移和热量传递过程，都必须考虑渗流中溶质和热量输送的动力学问题. 渗流现象的研究起源于1956年H.Darcy的著名实验.在以后的几十年中，众多数学家建立了大量关于渗流现象的数学模型，并在数值计算以及理论的定性研究上都取得了巨大的进展.本文所研究的问题来源于一种不可压流体在均匀，各项同性的多孔介质中流动.首先由连续性方程有(б)θ/(б)t+div(→v)=0，(1)其中θ为介质的孔隙率，(→v)表示为渗流速度.Darcy定律给出(→v)=-k(θ)▽Φ，(2)其中k(θ)为液导系数，Φ为总位势.在假设忽略吸附的作用，化学作用，渗透效应的条件下，Φ可以写成Φ=ψ+z，(3)其中第一项ψ是由毛细管作用产生的吸力而引起的静力学位势，第二项是重力位势，z为沿重力方向的坐标变量. 联合(1)，(2)，(3)得到(б)θ/(б)t=div(k(θ)▽ψ)+(б)k(θ)/(б)z.(4) 在许多介质中，ψ可以看成是θ的函数，即ψ=ψ(θ)，则我们可以得到如下形式的方程(б)θ/(б)t=△A(θ)+div(→B)(θ).(5)而由实验表明，液导系数k(θ)一般是非负的，即A(s)是非减函数，此时方程(5)就是典型的渗流方程. 另一方面，若θ依赖于ψ，即θ=θ(ψ)，方程(4)可化为(б)θ(ψ)/(б)t=div(k(ψ)▽ψ)+(б)K(ψ)/(б)x.在一维情形下经过适当的变换，则得到如下形式的方程(б)C(u)/(б)t=(б)2u/(б)x2+(б)B(u)/(б)x.(6)如果不考虑重力的作用(例如x的方向为水平的情形)，方程(6)的形式为(б)C(u)/(б)t=(б)2u/(б)x2，(7)其中C(u)一般也为单调不减函数，这类方程常用于带有饱和区和非饱和区的渗流问题的研究. 对于方程(5)，(6)，(7)，在数学上我们所感兴趣的主要是带有退化的情形.一般来讲，方程(5)是典型的抛物-双曲方程，退化发生在使A'(s)=0的地方，而方程(6)，(7)是椭圆-抛物方程，退化发生在使C'(s)=0的地方. 关于退化抛物型方程(5)弱解理论的研究可以追溯到1958年.Oleinik，Kalashinkov和周毓麟[2]发表了关于方程(б)u/(б)t=(б)2Φ(x，t，u)/(б)x2Cauchy问题的研究. 在这篇文章中，他们要求Φ(t，x，u)对u≥0有定义且Φ(t，x，u)＞0，Φu(t，x，u)＞0，当u＞0时，Φ(t，x，0)=Φu(t，x，0)=0.由于方程具有退化性质，一般来说是不存在古典解的，因而必须考虑方程的弱解.他们给出了第一边值和第二边值问题弱解的定义，利用抛物正则化方法证明了弱解的存在性，同时也给出了唯一性的证明以及扰动有限传播的条件. Gilding和Peletier[3]于1976年研究了方程(б)u/(б)t=(б)2um/(б)x2+(б)un/(б)x的Cauchy问题，其中m＞1，n＞0，并且证明了当n≥1/2(m+1)时弱解唯一，当u0≥0连续，有界且u0mLipschitz连续时弱解存在.这个结果随后被Gilding[4]推广到更一般的方程(б)u=/(б)t=(б)/(б)x(a(u)(б)u/(б)x)+b(u)(б)u/(б)x，(8)其中a(u)，b(u)连续，且a(u)＞0(u＞0)，a(0)=0.他证明了当b2(u)=O(a(u))(u→0+)时弱解的唯一性.后来，陈亚浙教授[5]去掉了(8)中由a(u)控制b(u)的条件，集中对a(u)加条件，证明了弱解的唯一性.而方程(8)研究中的一个实质性的进展是由赵俊宁教授[6]得到的，他不要求a(u)与b(u)之间有任何的关系，只假设a(u)≥0，但集合F={s，a(s)=0}不含内点，而且唯一性是在有界可测函数类中证明的.这方面的发展历史可详见综述文章[7]及所附的文献表. 1959年，周毓麟教授[8]研究了方程(б)2u/(б)x2=A(x，t，u)(б)u/(б)t+B(x，t，u，(б)u/(б)x)(б)u/(б)x+c(x，t，u)+F(x，t)的混合边值问题，他利用差分方法证明了弱解的存在性，并研究了解的有界性. 1982年，VanDuyn和Peletier[9]，[10]发表了关于方程(7)的第一边值问题的研究结果，包括弱解的存在唯一性，解的性质及饱和与非饱和区域交界面的连续性.另外，在1987年，他们提出了方程(7)的自由边界问题(参见[11])，证明了自由边界的连续性.在他们的研究中，C(u)一般都有如下的性质当u＜0时，C(u)严格递增(对应于非饱和情形)； 当u≥0时，C(u)=1(对应于饱和情形).此时，方程(7)在饱和区属于椭圆型方程，在非饱和区属于抛物型方程. 另外还有一些物理模型也会涉及到方程(7)，比如Bingham流，它具有液体和固体两种状态.在两种状态共存且相互转化的过程中会存在两种饱和状态，因而θ(u)的退化性质比(7)中的更加复杂，属于两阶段退化的方程.文章[13]曾研究这种情形的方程，并且得到与[10]相似的结果. 我们讨论具有如下形式的方程(б)C(u)/(б)t=△A(u)+div(→B)(u)(9)其中C(u)=∫u0c(s)ds，A(u)=∫u0a(s)ds，(→B)(u)=∫u0(→b)(s)ds，c(s)≥0，a(s)≥0，b(s)均为适当光滑函数.设Ω为RN中边界适当光滑的有界区域.假定边界条件和初值条件分别为A(u(x，t))=0，(x，t)∈(б)Ω×(0，T)，C(u(x，0))=v0(x)，x∈Ω. 我们主要研究方程(9)在一维情形下初边值问题弱解的唯一性.由于方程是退化的，古典解一般是不存在的，我们给出弱解的定义，采用Holmgren方法，将方程弱解的唯一性问题转化为共轭方程解的估计问题.在证明过程中，并没有要求A(s)和B(s)之间有任何关系.然而由于C(s)具有强退化性质，我们要求|b(s)|2≤α(s)c(s)，其中α(s)为非负连续函数.利用这个条件和A(s)是严格单调递增的，我们给出有界可测弱解的唯一性证明. 我们给出方程(9)在高维情形下初边值问题弱解的存在性证明，主要的方法是利用抛物正则化方法.证明的关键是受到赵俊宁教授在文章[14]中的启发，利用Young测度收敛定理，使用补偿紧致方法.最后，我们证明有界可测弱解的存在性，要求C(s)和A(s)，B(s)之间都要有一定的关系，但A(s)受到C(s)的限制并不一定是弱退化的. 收起