摘要: 对任意无理数x∈(0,1]，都存在唯一的整数列｛dj(x)｝j≥1，使得其中x=∞∑j=11/d1(x)(d1(x)-1)…dj-1(x)(dj-1(x)-1)dj(x)，其中dj(x)≥2,?j≥1，我们称上式右边的无穷级数展式为x的Lüroth展式，同时称｛dj(x)｝j≥1为x的Lüroth展式的字符序列。类似于连分数... 展开 对任意无理数x∈(0,1]，都存在唯一的整数列｛dj(x)｝j≥1，使得其中x=∞∑j=11/d1(x)(d1(x)-1)…dj-1(x)(dj-1(x)-1)dj(x)，其中dj(x)≥2,?j≥1，我们称上式右边的无穷级数展式为x的Lüroth展式，同时称｛dj(x)｝j≥1为x的Lüroth展式的字符序列。类似于连分数展式中的Khintchine常数，由遍历定理可知，对于几乎处处的x∈(0,1]，其对应的Lüroth字符的几何平均值序列收敛于Khintchine型常数K=∞∏k=2k1/k(k-1)。众所周知，Lüroth展式中字符有界的点集是Lebesgue零测集。本文主要研究了Lüroth展式中满足Khintchine型常数且字符有界的点的存在性，并证明了集合E=｛x∈(0,1]∩Qc:｛dj(x)｝j≥1有界且limn→∞n√d1(x)d2(x)…dn(x)=K是不可数集。 本文第一章主要介绍了问题研究的背景及意义，第二章给出了相关的预备知识，之后用一章节的内容进行了相关证明。在第三章中，首先考虑限制字符dj(x)只取3和4时的情况，同时借助log4-logK/logK-log3的连分数展式的部分商和收敛因子，构造出了满足集合E中条件的一个点。在此基础上，通过进一步改进方法，证明了E是不可数集。 收起