摘要: 结合连分数和β-展式,本文研究一种新的实数展式:β-连分数展式.本文围绕该展式的度量性质相关问题进行研究,得到了如下两部分的结果. 第一部分,首先研究β-整数和β-连分数的一些基础性质.令β＞1是多项式t2=at+1(a∈N,a≥1)的根或者是多项式t2=at-1(a∈N... 展开 结合连分数和β-展式,本文研究一种新的实数展式:β-连分数展式.本文围绕该展式的度量性质相关问题进行研究,得到了如下两部分的结果. 第一部分,首先研究β-整数和β-连分数的一些基础性质.令β＞1是多项式t2=at+1(a∈N,a≥1)的根或者是多项式t2=at-1(a∈N,a≥3)的根.记an(x)是实数x的β-连分数的第n阶部分商,ψ为N的正函数.我们研究集合E(ψ)={x∈[0,1):an(x)≥ψ(m)对无穷多个n∈N成立}.证明了该集合的Lebesgue测度满足0-1律.确切地说,当级数∑∞n=11/ψ(n)收敛或发散时,集合E(ψ)的Lebesgue测度为0或1.作为其推论,得到了区间[0,1)中由β-连分数展式的部分商有界的数组成的集合,其Lebesgue测度为0. 第二部分,研究了一类具有遍历根系统的保测变换的遍历分解,证明了如果一个保测变换存在一个遍历的k次根系统,则这个保测变换的遍历分支至多为k个,其遍历分解就是这些遍历分支的凸组合. 收起