摘要: 光滑有限元（S-FEM）是一种弱弱形式的数值计算方法。它已广泛应用于求解各类实际工程问题。本文主要利用有限元（FEM）、S-FEM来研究固体力学、接触和弹性波散射等具有广泛生物力学背景和应用的问题。 首先，本文采用四节点三角形（Tr4）单元对具... 展开 光滑有限元（S-FEM）是一种弱弱形式的数值计算方法。它已广泛应用于求解各类实际工程问题。本文主要利用有限元（FEM）、S-FEM来研究固体力学、接触和弹性波散射等具有广泛生物力学背景和应用的问题。 首先，本文采用四节点三角形（Tr4）单元对具有曲边界的复杂问题域进行模拟，解决了线性三角形（Tr3）单元模拟曲边界精度不高的问题。作者将Tr4单元用在标准FEM中来求解具有曲边界的固体力学问题。在研究中，考虑由Tr3和Tr4单元组成的单元网格，即Tr3-4网格，其中Tr3单元用于内部单元和直边界单元，Tr4单元用于曲边界单元。通过大量的数值实例发现，基于混合Tr3-4网格的FEM（FEM-Tr3-4）模型能精确逼近曲边界，并显著提高曲边界上解的精度。从而证明了该方法的有效性。 其次，本文深入研究了基于弱弱形式的S-FEM的构建和理论。S-FEM能够采用基于面元的、基于节点的和基于边的光滑域来构建，且即使网格畸变它也能得到较高的精度。G 空间理论为采用光滑技术的弱弱形式的建模方法提供了理论基础。作者主要从理论上证明了S-FEM的稳定性和收敛性，且表明基于S-FEM构建的插值函数属于 s,0hG 子空间。 再次，本文利用基于四边形网格的基于面元的S-FEM（CS-FEM）以及基于Tr3网格的基于节点的S-FEM（NS-FEM）和基于边的S-FEM（ES-FEM），并结合线性互补问题（LCP）的公式分析了二维多体接触问题。采用线性互补模型可以避免每步的迭代，减少工作量，提高运行效率。在接触界面上，本文采用了具有切向和法向粘着的修正库仑摩擦接触模型，它包括粘着-滑动，接触-分离和粘着-脱粘三个过程。作者推导了具有接触边界的光滑Galerkin弱形式，并采用CS-FEM、NS-FEM和ES-FEM模型和接触点对构建了离散的系统方程。进而结合接触约束方程，将该问题转化为 LCP，并利用Lemke方法进行求解。通过数值算例研究了接触参数、功能梯度材料等对接触行为的影响，并考虑了一个简化的二维股骨与半月板的接触模型。实验结果显示，基于Q4网格，所有的CS-FEM模型都比FEM-Q4模型软。同时，基于不同子面元（C-1SD，C-2SD，C-3SD，C-4SD，C-8SD，C-16SD）的CS-FEM 模型的应变能解随子面元的增加而单调递减。基于 Tr3 网格，NS-FEM能够获得系统应变能的上界解，ES-FEM 能够获得超精确的解。 然后，本文利用基于Tr3网格的ES-FEM（ES-FEM-T3）求解了弹性波散射问题。作者研究了弹性波散射的Navier 方程和具有耦合边界的Helmholtz 方程，推导了采用完美匹配层（PML）技术的Navier 方程和Helmholtz方程的光滑Galerkin弱形式，建立了有效的S-FEM模型。PML能将无界区域截断为有界区域，并消除来自边界的反射波。数值实验表明，ES-FEM比标准FEM具有更高的精度和稳定性。 最后，本文考虑在各向同性均匀弹性介质上的反障碍物散射问题。作者利用 Helmholtz 分解将 Navier 方程分解为标量势的耦合边界条件的Helmholtz方程，并采用透明边界条件（TBC）将无界散射问题域截断为有界区域。在此基础上，推导了Helmholtz方程标量势的区域导数，并利用区域导数提出了一种延拓方法来重构障碍物表面。通过两个数值实例，验证了该方法的有效性。 收起