摘要: 动态问题在科学技术和国民经济的发展中有着广泛的应用背景，这类问题多呈现材料非线性或几何非线性且边界条件极为复杂，通常无法得到解析解答，而需要借助数值算法来进行近似模拟和求解。目前求解动态问题的数值方法主要为有限单元法和无网格法，有... 展开 动态问题在科学技术和国民经济的发展中有着广泛的应用背景，这类问题多呈现材料非线性或几何非线性且边界条件极为复杂，通常无法得到解析解答，而需要借助数值算法来进行近似模拟和求解。目前求解动态问题的数值方法主要为有限单元法和无网格法，有限单元法存在精度偏低以及处理网格畸变能力不足的问题，无网格法虽然处理网格畸变能力较强，但其计算效率较低，很难用于实际工程计算。为了兼顾上述算法的计算能力与计算效率，充分利用低阶单元在解决工程问题时的巨大优势，本文从光滑有限元法和传统 Taylor-Galerkin算法着手，提出一种新型两步型 Taylor-Galerkin光滑有限元法。该方法基于梯度光滑技术，有效提高低阶单元的精度，并利用两步型 Taylor-Galerkin算法的动量及能量守恒性，在求解动态问题时能够展现良好的性能。 针对不同类型的动态问题，本文将两步型 Taylor-Galerkin算法与不同的梯度光滑算法相结合，并将它们应用于弹性波传播问题和超弹性材料的大变形问题的研究中，通过数值算例的分析对它们的性质特点进行比较。本文的主要工作包含： (1)将两步型 Taylor-Galerkin算法与边光滑有限元法结合，并将其用于弹性波在介质中的传播等问题的分析中。该方法突破传统单元积分的限制，基于三角形单元的边形成基于边的光滑积分域，有效地软化系统数值模型，提高计算精度；更值得注意的是：此算法基于低阶线性三角形单元，计算流程简单，不需要增加任何内部变量或自由度，在保证高精度的同时具备较高的效率。 (2)将两步型 Taylor-Galerkin算法与基于单元的光滑有限单元法结合，并运用于超弹性材料大变形等问题的求解中。在该算法中，数值积分在基于单元形成的光滑域中进行，克服了传统四边形单元由于等参元的使用而对网格严重畸变问题产生局限性的缺点，对处理网格严重畸变的问题具备独特的优势；此外，该方法还具备了两步型 Taylor-Galerkin算法的能量守恒性质，在复杂的迭代过程中，能量守恒可保证迭代的稳定性，减少或避免高频振荡成分对计算的影响，从而降低计算结果的误差。 (3)对上述两种方法的性质和特点通过具体算例分析表明两步型Taylor-Galerkin边光滑有限元法由于光滑域的形成方式以及稳定性等因素，较适用于弹性波在介质中的传播问题；两步型 Taylor-Galerkin单元光滑有限元算法则由于改善了传统等参元所存在的缺陷因此更适用于动态大变形问题的解答。 收起