摘要: 非线性偏微分方程在研究自然界中的非线性现象时起到不可忽视的作用, 尤其是在非线性光学, 等离子物理和流体力学等领域中引起了广泛的关注. 为了更加深入地研究非线性偏微分方程所描述的复杂的物理现象, 需要研究偏微分方程的精确解和守恒律. 本文基... 展开 非线性偏微分方程在研究自然界中的非线性现象时起到不可忽视的作用, 尤其是在非线性光学, 等离子物理和流体力学等领域中引起了广泛的关注. 为了更加深入地研究非线性偏微分方程所描述的复杂的物理现象, 需要研究偏微分方程的精确解和守恒律. 本文基于一些经典的方法展开以下三方面的工作: 对变系数 Boiti-Leon-Pempinelli和变系数Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程进行Lie对称分析, 得到它们的一些新的群不变解并构建相应的守恒律; 通过达布变换方法研究变系数非局域Fokas-Lenells方程和变系数非局域modified Korteweg-de Vries方程, 得到它们的单孤子解, 二孤子解和扭结周期波相互作用解等多种精确解; 研究非线性 Dirac 系统和耦合 Lakshmanan-Porsezian-Daniel 方程的非局域对称, 精确解和非局域守恒律. 本文的主要内容如下: 第一章, 使用经典的 Lie 群方法研究广义的(2+1)维变系数 Boiti-Leon-Pempinelli (BLP) 方程和(2+1)维变系数Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff (CBS) 方程. 首先使用Lie的无穷小不变规则得到变系数 BLP 方程的等价变换和微分不变量. 应用微分不变量构建 BLP 方程变系数形式到它常系数形式的显式变换, 进而将其映射为著名的Burgers方程. 使用经典的Lie对称分析方法构建变系数BLP方程和变系数CBS方程的无穷小生成元, 确定了一维子代数的最优系统. 然后, 基于最优系统, 利用相似约化把(2+1)维的变系数方程约简为(1+1)维的方程. 通过( G′/G )展开法计算出(1+1)维方程的精确解, 进而得到变系数 BLP方程和变系数 CBS方程的精确解并绘制出相应的图像来描述解的性质. 最后, 使用乘子法得到变系数BLP方程的守恒律, 根据Ibragimov提出的新的守恒定理得到变系数CBS方程的守恒律. 第二章, 研究可积的(1+1)维变系数非局域Fokas-Lenells (FL) 方程和(1+1)维变系数非局域modified Korteweg-de Vries (mKdV)方程. 首先在已知Lax对的基础上, 首次构建了变系数非局域FL方程和变系数非局域mKdV方程的达布变换, 并且给出N次达布变换的显式形式. 然后借助达布变换, 利用零种子解和非零种子解推导出变系数非局域 FL方程和变系数非局域 mKdV方程的精确解. 最后通过对参数进行限制, 得到一些单孤子解, 二孤子解以及扭结周期波相互作用解等多种精确解, 并绘制出相应的图像. 通过图像解释了所获得的解的性质. 可以发现, 在这两个变系数非局域方程的解中, 无论系数函数是常数还是任意的变量, 孤子间的相互作用都是弹性的, 系数函数仅仅会对孤子波的形状产生影响, 对速度和振幅不会产生影响. 此外, 还可以发现变系数非局域 FL 方程和变系数非局域 mKdV 方程的解比它们常系数形式的精确解更具有一般性. 第三章, 在已知 Lax 对的基础上研究非线性 Dirac 系统和耦合 Lakshmanan-Porsezian-Daniel (LPD) 方程的非局域对称. 通过引入一个辅助变量将非局域对称局域化为Lie点对称. 同时, 原方程系统被扩展为一个封闭的延拓系统. 通过对延拓系统进行相似约化得到非线性Dirac系统和耦合LPD方程的一些新的群不变解, 包括孤子周期波相互作用解和周期解. 还在此基础上构建非线性Dirac系统和耦合LPD方程的非局域守恒律. 第四章, 对本文的工作进行简短的讨论和总结, 对以后需要进行的工作进行展望. 收起