摘要:
Gorenstein投射模、Gorensteiin环以及Auslander型环是同调代数和代数表示论中非常重要的研究对象.本文致力于研究环与模的Gorensteiin性质.特别地,本文研究了Gorenstein投射模以及Gorenstein转置的性质(第二章).鉴于n-挠自由模类在刻画Auslantder型环...
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Gorenstein投射模、Gorensteiin环以及Auslander型环是同调代数和代数表示论中非常重要的研究对象.本文致力于研究环与模的Gorensteiin性质.特别地,本文研究了Gorenstein投射模以及Gorenstein转置的性质(第二章).鉴于n-挠自由模类在刻画Auslantder型环类中起着重要的作用,受此启发,引入了模的挠自由维数的概念,并得到了Gorenstein环的一些等价刻画;利用正则模的左正交类的性质定义了一类比具有有限的单边自内射维数的Noether环更广的环类,并且在Auslander型条件下给出了两类环等价的一些条件(第三章).最后研究了满足Auslander型条件的环的任意阶下三角矩阵环的性质(第四章). 第一章是引言,主要介绍一些背景知识、动机和一些符号. 第二章,引入了Gorenstein合冲模的概念,对任意正整数n,证明了Gorensteinn-合冲模都是n-合冲模;另外,在Noether环上推广了Auslander转置的概念,引入了Gorenstein转置,研究了任意两个Gorenstein转置之间的关系;证明了一个有限生成右R-模M是左R-模A的一个Gorenstein转置当且仅当M可以嵌入A的一个Auslander转置且其上核是Gorenstein投射模;最后给出了这一结果的一些应用.如下是本章的主要结果. 定理0.0.1设n是任意正整数且0→A→Gn-1→Gn-2→G0→M→0是ModR中的正合列,其中Gi是Gorenstein授射模,则有如下结论: (1)存在Mod R中的正合列0→A→Rn-1→Pn-2→→P0→N→0以及0→M→N→G→0,其中所有Pi是投射模且G是Gorenstein投射模.特别地,Mod R中的任何模n-合冲模当且仅当它是Gorenstein n-合冲模. (2)存在Mod R中的正合列0→B→Qn→1→Qn→2→Q0→M→0以及0→H→B→A→0,其中所有Qi是投射模且日是Gorenstein投射模. 定理0.0.2设R是左-右Noether环,M∈mod Rop且A∈modR,则M是左R-模A的一个Gorenstein转置当且仅当存在modRop中的正合列0→M→TrA→H→0,其中H是Gorenstein投射模. 作为Gorenstein转置的应用,如下结论建立了具有有限Gorenstein投射维数的模类和具有相同投射维数的模类之间的关系. 命题0.0.3设R是左-右Noether环,A∈modR且n是正整数,则GpdR A=n当且仅当存在mod R中投射维数为n的模B,使得A=TrπG(Tr B),其中TrπG(Tr B)是B的某个Auslander转置的Grorenstein转置. 第三章致力于研究Gorenstein环的性质.设R是左-右Noether环,本章引入了有限生成R-模的挠自由维数的概念,并给出了Gorenstein环的一些新的等价刻画;利用n-挠自由模的性质,研究了┴nRR具有无挠性质的环的性质,证明了┴nRR具有无挠性质当且仅当┴nRR中的模的挠自由维数不大于n;在Auslander型条件下,讨论了┴n RR具有无挠性质的环何时有有限的右自内射维数.如下是本章的主要结果. 定理0.0.4设R是左-右Noether环n是非负整数,如果每个有限生成左R-模的挠自由维数不大于n,那么环R的右自内射维数不大于n. 定理0.0.5设兄是左-右Noether环且n是非负整数,如下陈述等价: (1)R是自内射维数不大于n的Gorenstein环; (2)每个M∈mod R的Gorenstein投维数不大于n; (3)每个N∈modRop的Gorenstein维数不大于n; (4)每个M∈mod R以及N∈modRop的左正交维数不于n; (5)每个M∈mod R以及N∈mod Rop的挠自由维数不大于n. 命题0.0.6设R是左-右Noether环n是非负整数,则┴n RR具有无挠性质当且仅当每个┴nRR中模的挠自由维数不大于n. 定理0.0.7设R是左-右Noether环,n和K是正整数且┴nRR具有无挠性质,如果R是gn(k)或gn(k)op,那么环R的右自内射维数不大于n+k-1. 第四章将要讨论满足Auslander型条件的Noether环的任意阶下三角矩阵环的性质.设R是左-右Noether环且n,k是非负整数,R称为是Gn(k),是指:对任意0≤I≤n-1,Rn的一个极小内射分解的第(i+1)项的平坦维数小于或等于i+k.本章中证明了R是Gn(尼)当且仅当R的任意阶下三角矩阵环是Gn(k).这一结果推广了Iwanaga和Wakamatsu的相应结果.如下是本章的主要结果. 定理0.0.8设R是左-右Noether环且n,t是非负整数,则R的任意阶下三角矩阵环Tt(R)也是左-右Noether环,且对任意t≥0,fdTd(R)op Ii(Ti(R)):max{fdRopIi(R),fdRop Ii-1(R)+1)(这里IiR(R)表示RR的一个极小内射分解的第(i+1)项).特别地,对任意非负整数n和k,R是Gn(k)当且仅当R的任意阶下三角矩阵环是Gn(k).
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