摘要 :
有限元法(Finite Element Method,FEM)是一种高效的数值模拟方法，已广泛应用于热学、电磁学、固体力学等各种实际工程领域。对于三维固体力学问题，由于问题域的几何结构多样，且通常具有曲边界，使得基于线性单元的FEM数值解精度不高。因此，本文针...
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有限元法(Finite Element Method,FEM)是一种高效的数值模拟方法，已广泛应用于热学、电磁学、固体力学等各种实际工程领域。对于三维固体力学问题，由于问题域的几何结构多样，且通常具有曲边界，使得基于线性单元的FEM数值解精度不高。因此，本文针对该问题进行了以下研究：一方面提出了一种具有曲边界的高阶单元，并将其应用于FEM来求解具有曲边界的三维固体力学问题；另一方面采用光滑有限元法(Smoothed Finite Element Method,S-FEM)对具有复杂结构的三维固体力学问题进行求解。此外，本文还开发了一个FEM和S-FEM的三维预处理器，保证能够更好地实现三维复杂问题域的FEM和S-FEM网格剖分，从而提高算法运行效率。具体工作内容包括：
首先，在求解具有曲边界的三维固体力学问题时，基于四节点线性四面体单元(Four-noded Linear Tetrahedron,Te4)的FEM无法准确模拟曲边界，导致解精度降低。为了克服该问题，本文提出了一组具有曲边的新型四面体单元来模拟曲边界。这类新单元通过在曲边上增加新的节点来模拟曲边界的变化趋势，从而能够更精确的模拟实际问题。根据曲边单元中的节点数目可以将新单元分为五节点四面体单元(Te5)、六节点四面体单元(Te6)和七节点四面体单元(Te7)。同时，本文基于等参单元构建了这些新单元的形函数。然后，针对具有曲边界的固体力学问题，作者利用Te4单元和新构建的多节点曲边四面体单元剖分问题域：在曲边界处使用Te5等曲边单元，问题域的其他部分使用Te4单元。基于这种混合网格的FEM，在提高数值结果精度的同时，保证了算法的运行速度。通过大量数值实例表明基于混合网格的FEM模型能够更精确地求解具有曲边界的三维固体力学问题。
接下来，本文利用S-FEM研究了复杂的三维固体力学问题。该方法是一种结合了FEM和无网格法优点的数值方法，基于弱弱(Weakened Weak,W2)形式和G空间理论，能够显著地提高应力解精度。首先在FEM的背景网格上构造多种光滑域，然后建立对应方法的光滑Galerkin弱形式，最后求解获得位移解和应力解。通过大量数值实例表明S-FEM求解复杂三维固体力学问题时可以显著改善应力解精度。此外，为了方便构建光滑域，作者开发了三维的S-FEM预处理器。该预处理器具有简单且易操作的图形用户界面(Graphical User Interface,GUI)。它不仅能够利用GUI自动地剖分问题域、创建光滑域，而且还可以基于现有商业软件提供的几何文件，如ABAQUS?和HyperMesh?，进一步剖分网格和创建光滑域。同时，该预处理器连接了多种数值求解器，包括：FEM、基于面的S-FEM(FS-FEM)、基于边的S-FEM(ES-FEM)和基于节点的S-FEM(NS-FEM)。通过大量的实例演示验证了该预处理器的有效性、准确性和稳定性。结果表明，预处理器可以在不需要人工干预的情况下，自动生成任意复杂几何结构的FEM网格与S-FEM的光滑域。
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