摘要: 分形集合自然地出现在数的展开和Diophantine逼近理论中.本论文研究如下问题:β-动力系统中的回复集,连分数展式中部分商的相对增长速率,Lüroth展式中Jarník-like集和一致Jarník-like集.我们主要从度量和维数的角度去刻画集合的大小.论文共有六章内容.... 展开 分形集合自然地出现在数的展开和Diophantine逼近理论中.本论文研究如下问题:β-动力系统中的回复集,连分数展式中部分商的相对增长速率,Lüroth展式中Jarník-like集和一致Jarník-like集.我们主要从度量和维数的角度去刻画集合的大小.论文共有六章内容.第一章节介绍了问题的研究背景;第二章节给出了解决问题所需的一些基础知识. 在第三章中,我们给出了β-动力系统([0,1],Tβ)中回复集(此处为公式略过)的Hausdorff维数,其中τn(x,β)为点x在变换Tβ作用下首次回到x所在的第n阶柱集的时间;a,b是满足0≤a≤b≤∞的任意实数;φ:N→R+是一个非减函数. 在第四章中,我们确定了集合(此处为公式略过)的Hausdorff维数,其中0≤α≤β≤∞,序列{an(x),n≥1}和{qn(x),n≥1}分别为x的连分数展式中部分商构成的序列和收敛因子的分母所构成的序列. 在第五章中,我们刻画了Lüroth展式中Jarník-like集和一致Jarník-like集的度量性质.具体地说,给定递减正函数ψ:N→R+,我们确定了Jarník-like集(此处为公式略过)的Lebesgue测度以及一致Jarník-like集(此处为公式略过)对所有的n∈N成立}的Hausdorff维数,其中τ≥0.此外,去掉函数ψ的单调性,我们计算了Wf(ψ)={x∈[0,1):|xQn(x)?Pn(x)|<ψ(n)满足无穷多个n∈N}的Lebesgue测度和Hausdorff维数. 最后一节我们对本文的主要结果进行了总结,并且给出了可以进一步探究的问题. 收起