摘要: Dirichlet定理是度量丢番图逼近理论的一个根本结果.关于该定理的可改进性问题是由Davenport和Schmidt率先考虑的.继他们之后, Kleinbock和Wadleigh于2018年正式提出了Dirichlet可改进点的概念并开展了相关工作.他们的结果表明了Dirichlet定理的可改进... 展开 Dirichlet定理是度量丢番图逼近理论的一个根本结果.关于该定理的可改进性问题是由Davenport和Schmidt率先考虑的.继他们之后, Kleinbock和Wadleigh于2018年正式提出了Dirichlet可改进点的概念并开展了相关工作.他们的结果表明了Dirichlet定理的可改进性与连分数展式中部分商乘积的增长速率紧密相关. 本论文主要研究了一致的Dirichlet不可改进集的大小,精确的Dirichlet不可改进集的大小以及连分数展式中部分商乘积的度量性质.全文共分为六章.前两章介绍了本文的研究背景和基本知识.在接下来的三章中,我们详细地讨论了上述三个方面的内容. 首先,我们研究了部分商乘积{an(x)an+1(x):n≥1}相对于{qn(x):n≥1}的最终增长性质,给出了一致的Dirichlet不可改进集的定义,计算了其Hausdorff维数.并将结果推广到有限个部分商的乘积的情形. 其次,我们确定了精确的Dirichlet不可改进集,即满足lim sup n→∞log (an(x)an+1(x))/log qn(x)=τ的点所构成的集合的Hausdorff维数,其中τ≥0. 再次,我们给了连分数中部分商乘积的度量性质一个完整的刻画,包括Lebesgue测度的结果和Hausdorff维数的结果.具体地说,给定正函数φ:N→R+及正整数m,我们确定了连分数展式中满足an(x)…an+m?1(x) ≥ φ(n)对无穷多个n成立的点构成的集合的Lebesgue测度和Hausdorff维数.若φ是递增的,我们还计算了满足an(x)…an+m?1(x)≥φ(qn(x))对无穷多个n成立的点所构成的集合的Lebesgue测度. 最后,我们总结了本文的主要结果,并提出了可以进一步研究的问题. 收起