摘要: 等幂和问题是数论中的一个经典问题，即对于给定的两个正整数k，n，且k＜n，寻找两组不同的整数[α1，α2，…，αn]，[β1，β2，…，βn]，使得αj1+αj2+…+αjn=βj1+βj2+…+βjn，j=1，2，…，k，我们称这两组整数[α1，α2，…，αn]，[[β1，β2，…，βn]为等幂和问题... 展开 等幂和问题是数论中的一个经典问题，即对于给定的两个正整数k，n，且k＜n，寻找两组不同的整数[α1，α2，…，αn]，[β1，β2，…，βn]，使得αj1+αj2+…+αjn=βj1+βj2+…+βjn，j=1，2，…，k，我们称这两组整数[α1，α2，…，αn]，[[β1，β2，…，βn]为等幂和问题的一个解，称n为等幂和问题解的长度，k为等幂和问题解的阶数． 由文献[18]知，若等幂和问题的非平凡解存在，则必须有n≥k+1．当k=n-l时，称等幂和问题的最大非平凡解为等幂和问题的理想解．1934年，Wright[28]对于等幂和问题的理想解提出猜想：对任意的正整数n，总可以找到一个长度为n的理想解.至今，人们只找到长度n-2，3，…，10，12的理想解，上述猜想也未被证明，长度为n的所有理想解中，直径Dn=max1≤i≤n｛αi,βi｝-min1≤i≤n｛αi,βi｝最小的理想解称为最小理想解．2016年，邱敏在文章[40]中给出长度n=3，4，…，8的最小理想解以及n=9，12的最小对称理想解，并给出计算等幂和问题理想解与对称理想解的相关算法． 本文在等幂和问题理想解与对称理想解的现有算法基础上，通过对等幂和问题理想解与对称理想解性质的研究，给出理想解与对称理想解的改进算法，同时，我们结合大多数已知理想解的形式对称特点给出形式对称理想解的定义，并讨论了相关的算法．结合以上算法，我们找到了长度n=9的最小理想解以及长度n=12的最小形式对称理想解，并证明了长度n=16时，最小形式对称理想解的直径D16＞419. 收起