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国家工程技术图书馆
2022年11月29日
摘要: 本文主要通过对含极大子群为单群的群的研究,探讨了群的单性.另外,也通过群的某些特殊极大子群对群的可解性作了一些研究.值得说明的是,我们这里并不限定群的有限性.主要结论如下: 关于群的单性的结论定理3.1设群G的任-极大子群都是单群,... 展开 本文主要通过对含极大子群为单群的群的研究,探讨了群的单性.另外,也通过群的某些特殊极大子群对群的可解性作了一些研究.值得说明的是,我们这里并不限定群的有限性.主要结论如下: 关于群的单性的结论定理3.1设群G的任-极大子群都是单群,若G中存在一个非正规极大子群满足性质,那么G是单群.(我们称群G满足性质是指存在XG,使得G=<X>),且存在x<,0>∈X,使得1≠<X\x<,0>)≠G.)定理3.2设G为有限生成群,如果群G的任-极大子群都是非正规的单群,那么G是单群. 定理3.3设群G的极大子群都非正规,且极大子群要么为单群要么为幂零群,并且两者都存在,如果其中有一个幂零极大子群为有限群,那么G为单群. 定理3.4设群G的极大子群都非正规,且极大子群要么为单群要么为幂零群,如果其中有一个幂零极大子群为有限生成群、有一个单极大子群为周期群,那么G为单群. 定理3.5设群G的极大子群都非正规,且极大子群妥么为单群要么为幂零群,如果其中有一个幂零极大子群M和一个单极大子群R使得R ∩ M per M,那么G为单群. 推论3.3群G的每一个极大子群都是素数阶群的充要条件是G为Tarski群或pq阶群(允许p=q).定理3.6H是群G的非正规单极大子群,如果H中存在非平凡的元素h<,1>,h<,2>在G中共轭但在H中不共轭,那么G为单群. 定理3.7H是群G的单极大子群且H非正规,如果|G:H|≤mini{|g<'G>|≠g∈G},那么G是单群. 关于群的可解性的结论定理4.1.设G恰有n个极大子群且都是G的正规子群,那么G只能是有限群,当然G为幂零群. 定理4.2群G=<g<,1>,g<,2>,…,g<,n>>,那么群G的极大子群均正规且对每个g<,i>而言与其在G中共轭的元在其所在的极大子群中也共轭的充要条件是G为Abel群. 定理4.3若群G是有限生成的,且群G的每个极大子群均可解,则G可解的充分必要条件是: 1) G仅有一个极大子群;或者2)Frat(G)不是极大正规子群定理4.4有限群G的所有极大子拜均可解,如果G有一个正规子群N满足:存在素数p使得|G|<,p>=|N|<,p>,那么群G可解. 定理4.5群G的任一极大子群均幂零,如果存在一个极大子群为有限指数,那么G可解. 收起
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