摘要: 主导结构动力学行为的偏微分方程在空间离散(有限元、等几何和虚单元法等)之后就退化成关于时间连续的常微分方程，亦被称为半离散运动方程。本文主要发展、分析和应用高效的时间积分算法求解该半离散运动方程。主要研究内容概述如下： (1)提出了时... 展开 主导结构动力学行为的偏微分方程在空间离散(有限元、等几何和虚单元法等)之后就退化成关于时间连续的常微分方程，亦被称为半离散运动方程。本文主要发展、分析和应用高效的时间积分算法求解该半离散运动方程。主要研究内容概述如下： (1)提出了时间积分算法实现一致精度阶数的条件以及细化了推导时间积分算法振幅和相位误差的一般性方法。设计者可以利用本文给出的精度分析导出任何时间积分算法相关变量的精度阶数，其中自然包括动力学问题所关注的位移、速度和加速度变量。另一方面，设计者可以解析地计算时间积分算法的振幅和相位误差，从而精确地比较各积分算法之间的性能差异。 (2)证明了传统隐式算法不能同时实现自启动、一致二阶精度、无条件稳定、单解、可控数值高频耗散和零阶超调。本文利用辅助变量设计、分析和发展了两个隐式积分算法以实现上述六点要求。两个新隐式积分算法在超调、振幅和相位误差等方面都明显优于已发表的隐式算法，比如TPO/G-α方法。 (3)提出了最优两子步和最优三子步的二阶隐式积分算法。本文借助复合子步技术设计、分析和发展了二阶隐式积分算法。新子步隐式算法实现了自启动、一致二阶精度、无条件稳定、一致有效刚度矩阵(最优谱特点)、可控数值高频耗散和零阶超调。分析表明，当考虑与单子步隐式方法相同的计算代价时，最优两子步和最优三子步隐式算法仍然存在较大的优势。除此之外，本文也设计了最优两子步和最优三子步隐式算法的直接自启动格式。 (4)提出了最优单子步的二阶显式积分算法(GSSE)。GSSE算法实现了自启动、一致二阶精度、最大化条件稳定域、单解、速度项的显式处理和可控数值耗散。目前还不存在时间积分算法可以同时实现上述特点，因此GSSE算法填补了这一空白。另一方面，本文也推广GSSE算法到速度项的隐式处理进而提出了一个中心差分法的替代方案(GSSI)。GSSI算法不仅具有中心差分法的优点而且还补齐了中心差分法的缺点。比如，GSSI算法在阻尼情况下提供了比中心差分法更大的条件稳定域(超过2)。 (5)推广了两子步Noh–Bathe显式算法到s子步的情形，同时也优化了一类具有一般性的s子步显式方法。尽管被推广的显式算法在相同的计算成本下其条件稳定域会随着子步数量的增加而增加，但其增加的幅度却在逐渐减小。因此，发展超过六个子步的显式算法并不会带来明显的性能提升。除此之外，本文也进一步构造、分析和优化了一类具有一般性的s子步显式方法。该类算法成员不仅可以将分岔点视作用户指定参数而且还可以对低频区域的数值耗散进行优化。 (6)提出了两类高效且高精度的隐式积分方法(DSUCIn和SUCIn)。DSUCIn和SUCIn实现了自启动、一致高阶精度、无条件稳定、可控数值耗散和零阶超调。目前还不存在时间积分方法在实数域内实现上述特点，因此DSUCIn和SUCIn填补了这一空白。它们的精度阶数随着子步数量的增加而增加，但至多发展到六阶精度。这两类方法在超过六阶精度时需要更多的子步数以实现无条件稳定，所以本文仅分析和发展到六子步六阶隐式算法。 (7)提出了两个高效且高精度的显式积分方法。两个显式算法都实现了自启动、一致三阶精度、最大化条件稳定域、速度项的显式处理和可控数值耗散。目前并不存在时间积分方法实现上述特点，因此两个新高阶显式算法填补了这一空白。当考虑相同的计算成本时，已有的显式积分算法不能实现一致高阶精度、最大化条件稳定域或可控数值耗散；当考虑相同的精度阶数时，已有的显式积分算法可能要求更多的计算成本且不能实现最大的条件稳定域或可控数值耗散。 (8)提出了时间积分算法分析波弥散特点的一般性方法。在求解波的传播问题中，波方程的数值解要求分析空间和时间离散引入的耦合误差。本文提出的分析方法具有一般性且适用于任何时间积分算法。典型地，本文推导了一些隐式耗散算法的最优CFL数以精确求解波的传播问题。数值结果很好地匹配了理论分析。 收起